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数学III

a≧b>0のとき、a-b≧log(a+1)-log(b+1)が成り立つという証明を教えてください

投稿日時 - 2019-02-09 22:00:36

QNo.9586215

困ってます

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回答(2)

ANo.2

f(x)=log(x+1)-xという関数を考えると
f'(x)=1/(x+1)-1でありx>0の範囲ではf'(x)<0となって単調に減少します。
従って
a≧b>0のときlog(b+1)-b≧log(a+1)-aとなって
a-b≧log(a+1)-log(b+1)
です。

投稿日時 - 2019-02-09 22:43:32

ANo.1

その1
t>0の時1+t>1である故、1 > 1/(1+t)となる事、及び (d/dt) (log(1+t)) = 1/(1+t)であることに注目すれば、
log(a+1) - log(b+1) = ∫[b≦t≦a] (1/(1+t)) dt ≦ ∫[b≦t≦a] 1 dt = a-b
となって成り立つ。

その2
a=bの時は明らか。
a>b>0の時は、やはり (d/dt) (log(1+t)) = 1/(1+t)であるから、平均値の定理よりあるb<c<aなるcが存在し、
{ log(a+1) - log(b+1) } / (a-b) = 1/(1+c) < 1 が成り立つ。従って、log(a+1) - log(b+1) < a-bである。

投稿日時 - 2019-02-09 22:36:49