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解決済みの質問

曲面の面積

 下の画像はネットで拾った問題です。面積分を使って球の表面積を求めるには
  x↑= ( asin(u)cos(v), asin(u)sin(v), acos(u) )
  dS = det[ (∂x↑/∂u)du×(∂x↑/∂v)dv ]dudv = a^2∬D sin(u)dudv
  S = a^2∬D sin(u)dudv
のようにすると思うのですが、下の画像の解き方で、なぜ
  ┌      ┐
  │a^2  b  │= g
  │0  sin^2(u) │
  └      ┘
という行列をわざわざ使用しているのでしょうか?

投稿日時 - 2019-02-07 10:52:32

QNo.9585443

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

恐らく・・だが!?
曲面積を曲面の第一基本量を用いて表そうとしたものと思われる・・!
|∂x/∂u x∂x/∂v)|² = |(∂x/∂u ,∂x/∂u)| ²|(∂x/∂v ,∂x/∂v)|² - (∂x/∂u ,∂x/∂v)²
=EG - F²
g=
┏    ┓
┃E  F ┃
┃F  G ┃
┗    ┛

┏             ┓
┃(∂x/∂u ,∂x/∂u) (∂x/∂u ,∂x/∂v)┃
┃             ┃
┃(∂x/∂v ,∂x/∂u) (∂x/∂v ,∂x/∂v)┃
┗              ┛

┏     ┓
┃a²   0  ┃
┃0 a²sin²u ┃
┗      ┛
√(EG - F²) = |det(g)| = a²sinu  det(g)はgの行列式
∂x/∂u と∂x/∂vのベクトル積を∂x/∂u x∂x/∂vと表すとすると曲面積Sは
S=∬|∂x/∂u x∂x/∂v|dudv
=∬√(EG-F²)dudv
=a²∫[0,2π]dv∫[0,π]{sinu}du
=4πa²

投稿日時 - 2019-02-09 09:48:56

お礼

 丁寧な回答まことにありがとうございました。
> 曲面積を曲面の第一基本量
 初めて知りました。まだ未読の曲面の初歩的な参考書があったのでよく読んでみます。

投稿日時 - 2019-02-11 04:50:09

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