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解決済みの質問

特性根、ベキ零行列の証明について

1)の証明
・A^kの特性根はα_1^k, α_2^k, ... , α_n^k
k=0のとき、成り立つのはわかる
k=n-1で成り立つとき、k=nで成り立つ理由がわかりません

(B)はどのような帰納法使っているのかわかりません

4.1.5, 2)
Pが正則
⇒φ(P^(-1)AP; x)=φ(A; x)

5)
Aが対称に区分けされて
(A(11) A(12))
(O A(22))の形
⇒φ(A; x)=φ(A(11); x)φ(A(22); x)

投稿日時 - 2018-01-20 17:20:23

QNo.9420383

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

> B^pの特性根とA^pの特性根が一致する理由がわかりません

それは、この手の議論で絶対一度は計算することですが、今面倒なのでP^{-1} = Qと書くと、B^pを計算すると、
B^p = (QAP)(QAP) ..... (QAP)(QAP) = QA(PQ)A(PQ)....(PQ)AP
= QAAAA....AP = Q (A^p) Pとなるからで、そこで多分命題4.1.5に書いてあるだろうことを使えば出てきます

投稿日時 - 2018-01-21 17:23:00

お礼

書いてみれば簡単なことでしたね。ご説明ありがとうございました。

投稿日時 - 2018-01-23 23:10:01

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回答(2)

ANo.1

(1)は、B^pの対角線には、(a1)^p, (a2)^p, .... , (an)^pが並ぶって所ですか?それなら「実際に計算すれば分ります」。面倒臭がらずに手を動かしましょう。

要は、X=(Xij), Y=(Yij)をそれぞれn次正方上三角行列としたとき、その積Z=(Zij)について、(a)Zも上三角 (b)Zkk = Xkk * Ykk が常になりたつことを言えばよい。
そうすると、『B^pは上三角で、その対角線には、(a1)^p, (a2)^p, .... , (an)^pが並ぶ』というのを、pに関する帰納法で示せるでしょう?

で、A=(Aij)が上三角、というのは、i>j → Aij = 0ということ。で、j≧kのとき、
Zjk = Σ(o≦i≦n) (Xji Yik) = Σ(0≦i≦k-1) (Xji Yik) + Xjk Ykk + Σ(k+1≦i≦n)(Xji Yik)
において、0≦i≦k-1なら Xji = 0, k+1≦i≦nなら Yik = 0であるから、結局 Zjk = Xjk Ykkだけが残って、Zkk = Xkk * Ykk, 又 j>kなら Xjk = 0だから Zjk = 0となって、Zが上三角であることも示せる。

(B)は、正に「n次正方行列Aの特性根が全て0なら、A^n = O」というのを使っている。今これがn-1の時正しいとすれば、B_1は(n-1)次正方行列で、特性根が全て0だから、仮定よりB^(n-1) = 0でしょう? (Bの区分けのされ方から、B_1が(n-1)次正方行列になっていることに注意)

投稿日時 - 2018-01-21 15:58:41

補足

(1)について、証明を読み間違って誤った解釈をしていました。
tmpnameさんに解説していただいたところは理解できました。
B^pの特性根とA^pの特性根が一致する理由がわかりません。
(B)はわかりました。

投稿日時 - 2018-01-21 17:01:46

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2018-01-23 23:15:33

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