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締切り済みの質問

atan3/4の値 角度

少し前質問されたことです

辺の長さ3,4,5の直角三角形は誰でも知っています    
その時 4と5の間の角度は何度?

その時私は 直角三角形の辺の長さが分かっても 角度は
一般的には求められない
特殊な形 (1)1.2.√3  (2)1.1.√2 らは計算で求まる

そこで (1)よりatan0.577=30° (2)よりatan1=45°なので atan0.75はその間にあり その間を直線とみなし 30°+(45°-30°)× (0.75-0.577)÷(1-0.577)=36.1°としました
これが私の彼に対する説明です

後ほど 関数電卓で調べたら atan(3/4)=36.9° 近いのか遠いのか?
なんか私のやり方いいのか? 不安になりました

そこで質問なんですが 直角三角形で辺の長さが与えられた時 その角度は一般的に求められないのでしょうか?
有名な3,4,5の三角形の角度 自分で求めたり 質問されたことありません?

投稿日時 - 2017-07-27 18:39:37

QNo.9356530

暇なときに回答ください

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回答(8)

ANo.8

「Pade近似」算式 …。

たとえば、参考 URL の「Table 1」にある
 arctan(x) = x*(4x^2+15)/(9x^2+15)
で勘定。

x=3/4 → arctan(3/4) ≒ 0.6449 (rad) = 36.95 (deg)
  

参考URL:https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5285437/table/Tab1/

投稿日時 - 2017-07-29 15:08:15

お礼

パデ近似ですか 言葉として初めて聞きました
少し調べてみて 平たく言えば テーラー展開の項を限って 分かりやすい式で示したものでしょうか?


皆さまに
5人の方から回答を頂きました 3,4,5の三角形の角度を求めることは容易ではありませんね 高校のハイレベルな理解力が必要かと思われます。でもf272 さんに示して頂いた式で近似を求めることは 中学生でも出来ます。証明は?と聞かれたら 「少し難しい 高校のハイレベルな理解力が必要 興味があるのなら自分で調べてみなさい」と言ってやるのもいいですね。私も未だ理解できていないこともあります。少し調べてみるつもりです。
皆さまのご回答非常に参考になりました とても有難く思っています。
ベストを決めることはご勘弁下さい
これで質問締め切りとさせて頂きます。 

投稿日時 - 2017-07-30 01:08:29

ANo.7

#3です。

ここで示した式は電卓すらないときに紙と鉛筆でやることを想定したものです。
もう少し計算する気力があれば
3ab/(a^2+3b^2)=0.631579
の代わりに
(4a^2+15b^2)/(9a^2+15b^2)*(a/b)=0.644859813
を使うことも出来ます。この式だと,どんな場合でも誤差は0.8%以内に収まります。

> この式はどうして導かれるのでしょうか?

魔法の式です。

投稿日時 - 2017-07-28 20:27:28

お礼

面白い式ですね 導く方法は今の私には分かりません
3,4,5の直角三角形は中学で習います でもその角度に関してはあまり問題にされませんでした 「一般的には解けない 関数電卓でやりなさい」と言われていたと思います
示して頂いた式なら 中学生でも出来ます 面白いですね
ただ その証明が、、、、、

投稿日時 - 2017-07-29 23:46:37

ANo.6

> ANo.4 への蛇足。

sin(x)/x が x→0 で 1 に収束することを利用。

正弦 (sin) の半角算式は、
 sin(x/2) = √[ {1-cos(x) }/2] = √[1-√{1-sin^2(x) ]/2]
だが、√ 内での「減算桁落ち」を回避すべく、
 √[1-√{1-sin^2(x) ]/2] = sin(x)/√[ 2*{1 + √{1-sin^2(x)} ]
と変形。

スプレッドシートでの勘定例。

  m  sin(x/m) x (rad)
 --  --------  ------
  1  6.000e-1
  2  3.162e-1  0.6325
  4  1.602e-1  0.6407
  8  8.035e-2  0.6428
 16  4.021e-2  0.6433
 32  2.011e-2  0.6435
 64  1.005e-2  0.6435 ← 36.87 (deg)
  

投稿日時 - 2017-07-28 20:00:34

お礼

上記でも述べましたが 私にとりなじみのないやり方なので 直ぐにコメントできません じっくりやってみます

関数電卓で atan3/4を求めても それは数学とは無関係ですね

投稿日時 - 2017-07-28 20:33:44

tanθ=3/4 となるθはもちろん、θ=... ときちんと表示できませんが、電卓により簡単にその近似値は計算できます。
手計算により詳しく計算するには次のようにするのがよいと思います。
tan(pi/4 - α)=3/4 とすると、tanα=1/7 ですから、
arctan(1/7)=1/7 - (1/3)*(1/7)^3+(1/5)*(1/7)^5 - (1/7)*(1/7)^7+...
これを計算して、α=0.141870546 を得て、
θ=pi/4 - α=0.6435011...
これを度数になおして、θ=36.869897° となります。
------------------------
※逆正接の級数を使っています。

投稿日時 - 2017-07-28 08:18:30

お礼

逆正接の級数ですか 少し調べてみました
分かりやすそうなので 再度やってみます

質問で示した私のやり方は どの程度近いのかが示せていないので 数学とは言えませんね いわゆる挟み撃ちでないとダメだと思います

投稿日時 - 2017-07-28 20:24:23

ANo.4

> … 関数電卓で調べたら atan(3/4)=36.9° 近いのか遠いのか?
>なんか私のやり方いいのか? 不安になりました
>そこで質問なんですが 直角三角形で辺の長さが与えられた時 その角度は一般的に求められないのでしょうか?
> …

参考 URL の式 (1) つまり sinc(x) = sin(x)/x の無限乗積 を使って勘定するのが一つの手です。

たとえば sin(x) = 3/5 = 0.6 として、有限桁数 (たとえば 4 桁)の勘定なら、式 (1) の右辺の cos(x/2^k) がすぐ 1.0000 になり、右辺乗積の近似値 0.9324 を得る。
これが右辺 sin(x)/x に近似している、つまり
 x≒ 0.6/0.9324 = 0.6435 (radian) ≒ 36.87 (degree)
… という「おはなし」です、
  

参考URL:http://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/cosine.pdf

投稿日時 - 2017-07-27 22:34:16

お礼

参考URLを開いてみたら 英文で少し厄介
後ほどじっくりやってみます

投稿日時 - 2017-07-28 20:16:32

ANo.3

関数電卓があれば逆三角関数を使う。atan(3/4)=0.643501
関数電卓がなければa=3でb=4だから3ab/(a^2+3b^2)=0.631579
ただし,もしa>bのときはaとbを入れ替えて計算して答えをπ/2から引いてください。例:atan(4/3)=0.927295,π/2-3*3*4/(3^2+3*4^2)=0.939217
これで,どんな場合でも誤差5%以内で計算できますよ。

投稿日時 - 2017-07-27 20:40:24

お礼

「a=3でb=4だから3ab/(a^2+3b^2)=0.631579」でかなり近いところが示せますね
1,2、√3の三角形でやってみると .5196 29.7°まで出ました
 この式はどうして導かれるのでしょうか?

投稿日時 - 2017-07-28 20:14:32

ANo.2

>そこで質問なんですが 直角三角形で辺の長さが与えられた時 その角度は一般的に求められないのでしょうか?

丁度きりのいい数値や無理数として表せないので, 無理でしょう。

arctan(3/4)=tan^-1 (3/4) ~ 36.8698976 [度]
arctan(3/4)=tan^-1 (3/4) ~ 0.643501109 [rad]

投稿日時 - 2017-07-27 19:37:06

お礼

丁度でなくても近似出来ればいいと思います
例えば 円周率πでも 円に内接、外接する正多角形を利用すれば出来ると思います

投稿日時 - 2017-07-28 20:08:54

ANo.1

直角三角形なので、acos(4/5)=36.9° ですね。

投稿日時 - 2017-07-27 19:06:48

お礼

関数電卓なら求まります
でも 計算ではどうなるのか? と思ったわけです

投稿日時 - 2017-07-28 20:05:16

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