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解決済みの質問

不静定次数を求める式

添付図書のように、不静定次数を求める式が
2種類見つかりました。その中で
n=r+k-3q  の使い方がよく分かりません。
説明をお願いいたします。

投稿日時 - 2017-01-20 13:20:17

QNo.9283597

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

 じつは質問の図の式は面倒臭いので、あまり使った事はありません。

 静定・不静定の定義です。

 「力の釣り合い条件だけから、全ての部材力(支点反力含む)を決定できる時、静定と呼ぶ」
 「そうでない時、不静定と言う。ただし不安定(構造系が自立しない)は除く」

 ここで力の釣り合い条件とは、鉛直方向と水平方向の力の釣り合い(合力0)および力のモーメントの釣り合い(モーメントの合計0)の3個です。

 まず外部不静定次数ですが、これは簡単です。上の定義から構造系全体の釣り合い状態を、構造系全体の力の釣り合い条件だけから決定できる時、外部静定です。具体的には、支点反力を決定できれば良いので、これは支点だけに関係する話です(内部がどんなに複雑でも)。

 質問の図ではピン支持×2なので、それぞれに鉛直反力と水平反力があり、支点反力数は2×2=4。一方、力の釣り合い条件は3個なので、4-3=1の外部1次不静定です。

 外部不静定次数を処理すると、内部不静定次数は構造内部の部材だけに関わる話なので(反力無関係)、反力は全てわかったものとして数えます。

 添付図の図-1は部材を水平に描いてますが、斜めの場合も作用荷重の横荷重,縦荷重方向の分力を取れば、同じ話が可能です。次が構造力学の大前提です。

 「作用荷重と材端力だけから、部材任意断面への作用応力は決定できる」

 当然と言えば当然の話なんですが、構造力学の最終目標は、設計で使用する断面応力を決定する事です。それが作用荷重と材端力だけから決定でき、作用荷重は与えられる既知の力なので、未知材端力の決定が構造力学の具体的な最終目標になります。

 ここで材端力とは図-1に示した、端軸力,端せん断力,端曲げモーメントの事で、それぞれ2個ずつあるので、1部材につき未知の材端力は一般には6個になります。せん断力と曲げモーメントまで考慮するのは、部材は最も一般的には曲げ部材だからです。

 ところが部材にも、3個の力の釣り合い条件を適用できるので、6個の材端力のうちのどれか3個がわかれば、残り3個を計算できる事になります(6-3=3)。よって未知材端力の個数は1部材につき、一般には最大3個です。

 ここまでの話で、一つ結論を出せます。構造力学の目標は未知材端力を出す事なので、一番正直にやると「たとえ通し部材であっても、節点で分割する」です。

 実際にはこれに構造系の特殊事情が加わります。例えば部材両端がピン結合のトラス部材なら、最初から端モーメント2個は0とわかりますから、未知材端力は、6-2-3=1です。

 質問の図のbc,cd部材では片側ピンなので、6-1-3=2です。図ではトラス部材が4つ、片側ピン部材が2つなので、全体で未知材端力は、1×4+2×2=8個になります。

 次に未知材端力の決定のために、節点での力の釣り合い条件を使います。何故そうすべきかというと、添付図の図-2を見れば、概ね理由がわかると思います。図-2はトラス構造の支点部で典型的に現れる状況です。ここで支点反力V,Hは、内部不静定の話なので、わかっているものと考えます。ピン支点で力の釣り合い条件を取れば、図-2の下側の式が得られます。最初の2式から、トラス部材の軸力T1,T2を決定できます。

 注目すべきは、2つの式に部材の成す角θが入っている事です。つまり節点での力の釣り合い条件には、どんな構造なのか?という、構造形状の情報が反映される事になります。だからこそ構造ごとに、適切に部材力を決定できる訳です。

 3番目の式は念のため、です。これはモーメントの釣り合いを表していますが、完全なピン結合の場合、やっても0=0が得られるだけで無意味(使えない条件)という事です。

 質問の図では節点a,b,d,eは完全なピン結合なので、それらで使える力の釣り合い条件は、2×4=8。cでは、部材bcとcdの材端モーメントがあるので、モーメントの釣り合いが意味を持ち、3。全部で8+3=11です。一方、未知材端力の合計は8。8<11なので、不安定?。

 いやそうじゃないんです(^^;)。内部不静定次数の場合、節点の釣り合い条件の総数から、3ひく必要があります。その事情が図-3です。外部不静定次数では、構造全体の釣り合い条件を考えます。図-3の上のように内部事情がどうあろうと、構造全体をひと塊の物体とみなして、力の釣り合いを取ります。という事は下の図のように、構造全体を単純梁に置き換えても、反力計算には問題ありません。

 単純梁で考えれば明らかと思うんですが、支点反力の計算で使う力の釣り合い条件とは、じつは支点の(節点の)力の釣り合い条件です。たとえ外部不静定であっても外力と釣り合う限り、全体系の力の釣り合いは必ず満たさなければならないので、支点の(節点の)3個の釣り合い条件を、自動的に使う事になります。

 従って内部不静定で「反力はわかったものと仮定する事」は、「節点の釣り合い条件を、既に3個使ってしまった」と同等になります。よって節点で使える力の釣り合い条件は、11-3=8個になります。一方、未知材端力の総数も8個だったので、8-8=0で内部静定です。

 全体では、使用可能な釣り合い条件が8+3=11個。未知材端力と支点反力の総数が8+4=12個で、全体ではめでたく(?)12-11=1の1次不静定になります。


 なお不静定構造であっても、じっしつ静定計算でいける場合もあり得ます。典型的なのが図-4です。図-4はピン支点×2で外部1次不静定,内部静定は明らかな構造ですが、荷重P,Qの作用点の力の釣り合いで2個の斜材の軸力を出せます。斜材の軸力がわかったところで支点へと構造をたどると、下弦材の軸力がわかれば、支点反力まで出ちゃうのがわかります。

 ところが下弦材の軸力は、明らかに0なんですよ。何故なら下弦材は両端をピン支点で押さえられ、伸びも縮みもしないからです。「伸びも縮みもしない」とは、部材の変形状態まで考慮した事になり、静定の定義からすると「力の釣り合いのみで材端力を決定できた」事にはなりませんが、じっしつ静定計算です(^^)。

投稿日時 - 2017-01-26 10:57:21

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