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解決済みの質問

小学校算数:分数問題

 お世話になります。
 分数の割り算です。
    
   2/3÷1/5=2/3×5/1=10/3=3 ・1/3

 これは分数の計算式として「このように計算するのだ」と暗記します。
 そこで問題の 2/3÷1/5 ですが、
      2/3を1/5で割る
 という意味を説明して頂けませんでしょうか?
      3つに割った2つのリンゴを、5つに割った1つのリンゴで割る
 という理解は間違っていますか?
 間違っていないとすれば、上記の理解を実場面で示すことが出来るのでしょうか?
 よろしくお願い致します。

投稿日時 - 2015-10-03 09:27:51

QNo.9057816

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

> そこで問題の 2/3÷1/5 ですが、2/3を1/5で割るという意味を説明して頂けませんでしょうか?
> 3つに割った2つのリンゴを、5つに割った1つのリンゴで割るという理解は間違っていますか?

 間違っていませんが、理解しやすいか、イメージしやすいか、でしょうね。上記でよく分かって納得できるなら、これ以上は不要でしょう。

> 間違っていないとすれば、上記の理解を実場面で示すことが出来るのでしょうか?

 分数で割る、というのが何をしているかですね。いくつか考えられると思います。

1.割り算は引き算の繰り返し

 例えば、12÷4だと、

「12から4を引いて8、8から4を引いて4、4から4を引いて0、3回引けたから商(答)は3」

という風に計算できます。かけ算が足し算の繰り返しであるように、割り算は引き算の繰り替えしです。

 ですから、

「3つに割ったリンゴの欠片が2つ分ある。そこから5つに割ったリンゴの欠片1つを何個取れるか?」

と考ればよいわけです。2/3を1/5で引いて行くので、通分して2/3=10/15、1/5=3/15とすれば、

「10/15-3/15=7/15:1回、7/15-3/15=4/15:2回、4/15-3/15=1/15:3回」

となるのですが、商が3なのはいいとして、余りとして1/15が出てしまいます。1/5=3/15なのでしたから、1/15は3/15の1/3、すなわち、1/15は1/5の1/3です。1/15からは、1/5の1/3が引けるということです

 これを帯分数で書けば、3と1/3=10/3になります。

2.分数を割るのには、とりあえず分子を割ってしまえばよい

 リンゴというイメージから離れて、数だけで考えます。例えば、1/2÷2ですと、とりあえず(1÷2)/2とすればよいです。分子が半分になれば、分数全体でも半分ですね

 このままでは割り算が残ってしまいますから、2で割って2をかけたら元の数、分数の分子と分母に同じ数をかけても同じ(通分でやるのと同じですね)ということを使います。

 (1÷2)/2の分子と分母両方に2をかけて、(1÷2×2)/(2×2)=1/(2×2)となります。結局、分数を2で割るのは、分母に2をかけることになる。分数の割り算は分母にかけてしまえばいいというのは、こういうことになっているからなのでした。

 割る数が分数になっても同じです。

 2/3÷1/5
=(2÷1/5)/3 ←分子を割るようにした

 問題は、「2÷1/5」でしょうか。まだ分数で割ってますね。ここで「割り算は、割られる数と割る数に同じ数をかけても商は同じ」ということを使います(もし余りが出たら、余りは同じではない点は要注意)。

 例えば、6÷3=2で、6と3を2倍しても、12÷6=2です。分数でも割り算のこの法則は変わりません。分数の通分で分子と分母に同じ数をかけてやるのとよく似ているものです。

 2÷1/5
=(2×5)÷(1/5×5) ←割られる数と割る数に5をかける
=2×5 ←1/5×5=1で、割る数が1になったから書かなくてよくなった

 分子はこれで分かりました。分母を元通り書いてやると、

 2/3÷1/5=(2×5)/3

となり、1/5で割るという計算が、5をかけるという計算になっています。

3.長方形の面積で考えてみる

 長方形の面積は、「縦の長さ×横の長さ=面積」ですね。面積と横の長さが分かっているとき、縦の長さを求めたければ、「面積÷横の長さ」と計算すればいいわけです。

 2/3÷1/5=[答]を、2/3が長方形の面積、、1/5が長方形の横の長さとすれば、[答]は長方形の縦の長さということになります。

 つまり、1/5をかけて2/3になる数を求めるということになりますね。通分してみると、2/3=10/15、1/5=3/15です。10と3を見比べてみると、10は3の10/3倍です。

 分母は15で共通だったのですから、2/3は1/5の10/3倍なのであり、10/3×1/5=2/3ということになりますから、10/3=2/3÷1/5(左右入れ替えて書けば、2/3÷1/5=10/3)と求められます。

投稿日時 - 2015-10-03 10:29:32

お礼

「この疑問が解けずに計算だけしても・・・」という思いでした。ありがとうございました。

投稿日時 - 2015-10-11 13:05:21

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回答(8)

ANo.8

実場面で示すことができるかどうか。そのことだけを考えてみます。

例えば、2/3kgのひき肉を使って1\5kgのハンバーグを作ると仮定してみたらどうでしょう。
2/3kgのひき肉の中に1/5kgがいくつ入っているかを考えるのですから、式にすれば
2/3÷1/5
となりますね。
実際にやってみると、1/5kgのハンバーグが3個できて、1/15kgが残ります。この1/15kgのひき肉で更にハンバーグを作ると、本来のハンバーグの1/3の大きさのミニハンバーグができます。つまり3と1/3個のハンバーグができることになります。
というわけで、「2/3kgのひき肉を使って1/5kgのハンバーグを作ろうとすると3と1/3個のハンバーグができる」。これを式にしたものが
2/3÷1/5=3と1/3
です。


あ、もちろんこれはひき肉100%のハンバーグを作る場合のことです。実際には玉ねぎやパン粉や牛乳、塩などを入れた方がおいしくできますね。

投稿日時 - 2015-10-05 11:16:10

お礼

「この疑問が解けずに計算だけしても・・・」という思いでした。ありがとうございました。

投稿日時 - 2015-10-11 13:03:22

ANo.5の回答者です。
ANo.5では、質問の答えである10/3に忠実に回答しましたが、ここでは答えが整数になるわかりやすい例で考えてみます。
なお、他の方の回答は長く、殆ど読んでいませんので、悪しからずご了承ください。

6は3の2倍である、これを式で表すと、6÷3=2
次に、図(数直線でも可)を描けば明らかですが、6/10は3/10の2倍である、
これを式で表すと、6/10÷3/10=6÷3=2
また、4は2の2倍である、これを式で表すと、4÷2=2
同様に考えて、4/5は2/5の2倍である、
これを式で表すと、4/5÷2/5=4÷2=2
このように、分母がそろった分数の割り算では、分子同士の割り算をすればいいことになります。

小学校算数ということで文字は使えないのかと思いましたが、文字を使って考えると次のようになります。
b/a÷d/cを考えてみます。
これを通分すると、bc/ac÷ad/ac
これで分母がそろったので、
b/a÷d/c=bc/ac÷ad/ac=bc÷ad=bc/ad=b/a×c/d
これから、分数の割り算では割る数の分母と分子を逆にして掛ければいいことがわかります。

繰り返しになりますが、分数の割り算を例示によって説明するためには、通分が必要です。

投稿日時 - 2015-10-03 14:15:50

お礼

重ねてありがとうございます。

投稿日時 - 2015-10-11 13:07:34

ANo.6

> 問題の 2/3÷1/5 ですが、
>      2/3を1/5で割る
> という意味を説明して頂けませんでしょうか?
⇒以下のとおりお答えします。

説明のために1/5を4/5に変えて、「2/3÷4/5」を先に考えてみましょう。
(1)1つのリンゴを3つに分ける。(=1/3)
(2)そのリンゴのかけらを2つ集めて1組にする。(=1/3×2)
(3)そのリンゴの組を4つに分ける。(=2/3÷4)
(4)その4つに分けられたリンゴの組を5つ集める。(=2/3÷4/5)

そこで、ご質問の「2/3÷1/5」ですが、(3)の段階「そのリンゴの組を1つに分ける」という操作が必要なくなって、省略できますので、次のようになります。
(1)1つのリンゴを3つに分ける。(=1/3)
(2)そのリンゴのかけらを2つ集めて1組にする。(=1/3×2)
(3)そのリンゴの組を5つ集める。(=2/3÷1/5)

以上のように説明すると、同時に「分数の割り算は、逆数の掛け算である」ということを示すことにもなりますね。

投稿日時 - 2015-10-03 12:01:24

お礼

「この疑問が解けずに計算だけしても・・・」という思いでした。ありがとうございました。

投稿日時 - 2015-10-11 13:06:00

2/3と1/5の通分を考えると、10/15と3/15
ここで、整数の10は3の10/3倍、つまり10÷3=10/3なので、これと同様に考えると、
10/15÷3/15=10÷3=10/3=10/15×15/3
つまり、分母がそろった分数の割り算では、分子同士の割り算をすればよく、これは結果的に、分数の割り算では割る数の分母と分子を逆にして掛けることになります。
2/3÷1/5=10/15÷3/15=10/3=10/15×15/3=2/3×5/1
よって、肝心なのは分数同士を通分してからある例示をすることで、分母が異なったままでは理解できません。

投稿日時 - 2015-10-03 10:30:25

お礼

「この疑問が解けずに計算だけしても・・・」という思いでした。ありがとうございました。

投稿日時 - 2015-10-11 13:05:43

ANo.3

うんうん。
実際にはそんな割り算は現実にはないでしょう。

投稿日時 - 2015-10-03 10:15:20

お礼

「この疑問が解けずに計算だけしても・・・」という思いでした。ありがとうございました。

投稿日時 - 2015-10-11 13:04:56

ANo.2

三つに割ったリンゴには、五つに割ったリンゴが何個はいりますか?

と言う理解だと思います。

三等分した円の二つ(の面積)に、五等分した円(の面積)がいくつ入るか
と言う図で説明できると思いますが。

投稿日時 - 2015-10-03 10:11:48

お礼

「この疑問が解けずに計算だけしても・・・」という思いでした。ありがとうございました。

投稿日時 - 2015-10-11 13:04:28

2/3を5で割る場合を考えます。
例えばホールケーキの2/3をさらに5分割するわけですから、最初のホールケーキから見ると、全体の2/15の大きさになる訳です。

2/3を1/5で割る場合を考えます。
そもそも分数で割るということ自体が、日常生活ではあまりしない考え方だと思います。まずはココからです。ここでは逆数の考え方を使ってみます。

「逆数 - 算数用語集」
https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/06/page6_04.html

“逆数”とは2つの数を掛けた結果、答えが1になる互いの数のことです。
例えば、3の逆数は1/3です。1/10の逆数は10になります。
他の数も探しても良いのではないかと思います。

ここで実際に、逆数にどのような性質があるかを確かめます。
6を3で割ると2になりますが、3の逆数の1/3で割ると、不思議なことに2になりました。
40を10で割ると4になりますが、4の逆数の1/4で割ると、不思議なことに4になりました。
他の数字でも何例か確かめても良いと思います。

ここから逆数の互いの数には次のような性質があることが分かります。
「○○をある数で割るのは、その数の逆数を掛けるのと同じ」

では、2/3を1/5で割ることを考えます。
逆数の考え方から、5は1/5の逆数なので、2/3を1/5で割るのは、2/3に5を掛けるのと同じ意味であることが分かります。
ここからならラクだと思います。

どちらかと言うとそのまま表すとよりは言い換えに逃げてしまったのですがどうでしょうか。

投稿日時 - 2015-10-03 10:08:47

お礼

「この疑問が解けずに計算だけしても・・・」という思いでした。ありがとうございました。

投稿日時 - 2015-10-11 13:04:04

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