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解決済みの質問

数III 積分

数III 積分
∫cos2x/(cosx)^2dx
の計算方法を教えてください。

投稿日時 - 2015-08-16 18:19:44

QNo.9031314

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

分子を2倍角の公式

cos 2x=2cos^2x-1

を使って、式変形していきます。


∫ cos 2x/cos^2x dx

=∫ (2cos^2x-1)/cos^2x dx

=∫ (2-1/cos^2x) dx

=∫ 2 dx-∫ 1/cos^2x dx

=(2x+C1)-(tanx+C2)

=x+C1-tanx-C2

=2x-tanx+(C1-C2)

=2x-tanx+C (C=C1-C2,C1,C2,Cは積分定数)






∫ 1/cos^2x dx=tanx+C

です。


証明は

(f(x)/g(x))'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2

を使います。

tanx=sinx/cosx
だから

(tanx)'

=(sinx/cosx)'

={(sinx)'cosx-sinx(cosx)'}/cos^2x

={cosx・cosx-sinx・(-sinx)}/cos^2x

=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x

=1/cos^2x


したがって、

∫ 1/cos^2x dx=tanx+C

となります。

投稿日時 - 2015-08-16 20:21:07

お礼

回答ありがとうございました。
とても詳しい解説で、勉強になりました。ありがとうございました。

投稿日時 - 2015-08-16 21:37:37

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回答(2)

ANo.1

I=∫cos2x/(cosx)^2dx

t=tanxとおく。

t^2=sin^2x/cos^2x=(1-cos^2x)/cos^2x=1/cos^2x-1 ⇒ cos^2x=1/(1+t^2)

dt/dx=1/cos^2x ⇒ dx=cos^2xdt=dt/(1+t^2)

I=∫cos2x/(cosx)^2dx=∫(2cos^2x-1)/(cosx)^2dx=∫[2-1/cos^2x]dx=2x-∫dx/(cosx)^2
=2x-∫(1+t^2)dt/(1+t^2)=2x-t+c=2x-tanx+c

投稿日時 - 2015-08-16 18:44:45

お礼

回答ありがとうございました。
このようなやり方もあるのですね。参考になりました。

投稿日時 - 2015-08-16 21:39:57