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解決済みの質問

三角関数の定積分

ある問題の回答で、サインのN乗のゼロから二分のパイまでの積分と、コサインN乗の同じ範囲の積分は等しい、ということが説明抜きに書いてありました。これは自明のことなのでしょうか?

投稿日時 - 2015-01-14 10:07:57

QNo.8890918

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

自明といってよいでしょう。

sin(x)とcos(x)は[0,π/2]においてx=π/4に対して対称です。これはN乗しても同じです。
ですのでsin^N(x),cos^N(x)とx軸、x=0とx=π/2で囲まれたグラフはx=π/4に対して対称ですので面積も等しい。

投稿日時 - 2015-01-14 11:23:08

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回答(7)

ANo.7

#5のものです。

>対称の位置にあるx1とx2に対する sin(x1), cos(x2)の値が同じなのだから、それをn乗したものの値も同じである、つまり対称である、という理解でいいでしょうか。

それでよい。

投稿日時 - 2015-01-15 09:36:21

ANo.6

「単なるsin^n(x)は置換積分できない」というなら別の置き換え方を考えればいい.

積分した値が必要なわけじゃないんだから.

投稿日時 - 2015-01-15 00:04:03

ANo.5

#2のものです。

#3の方へ。
>面積をn乗するのではなくn乗して積分するのであって、面積が等しいからと言って

n乗の積分が等しいといえますか。もう一つ釈然としません。

違う、違う。
N乗したものの積分は、N乗したもののグラフがつくる面積ですよね。
N乗したものグラフの面積が等しい=N乗したものの積分の値が等しい
ということです。sin(x)とcos(x)のグラフがつくる面積が等しい、ということから議論しているわけではありません。

sin(x)とcos(x)のグラフはx=π/4を中心に対象です。これはN乗したグラフでも同じです。
だからN乗したグラフでも[0,π/2]の部分の面積は等しいよね、ということなのです。

投稿日時 - 2015-01-14 17:16:11

補足

対称の位置にあるx1とx2に対する sin(x1), cos(x2)の値が同じなのだから、それをn乗したものの値も同じである、つまり対称である、という理解でいいでしょうか。

投稿日時 - 2015-01-14 19:09:22

ANo.4

置換積分すれば容易にわかる.

投稿日時 - 2015-01-14 12:05:02

補足

sin^n(x)cos(x)という形であれば置換積分できるが、単なるsin^n(x)は置換積分できない、という文脈での問題なのですが・・・・・

投稿日時 - 2015-01-14 19:13:39

ANo.3

#1さん、#2さん、

私も皆さんと同じように考えていたのですが

面積をn乗するのではなくn乗して積分するのであって、面積が等しいからと言って

n乗の積分が等しいといえますか。もう一つ釈然としません。

投稿日時 - 2015-01-14 11:46:17

ANo.1

cosとsinのグラフを 0 から π/2 まで書いてみてください。
そうすると cos と sin は面積は全く等しいですよね。

投稿日時 - 2015-01-14 10:57:18

お礼

回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2015-01-14 19:33:27

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