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数IIIの証明問題が解けません

 数IIIの演習問題で以下の添付画像の問題が解けません。
 私は、多分、平均値の定理だと思うのですが。
 どなたか、解ける方おられましたら、ご教示くださるとうれしいです。
 よろしくお願いします。

投稿日時 - 2014-01-25 06:22:46

QNo.8445465

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回答(2)

ANo.2

f(x)=(x+2)e^(-x)とおくと
f'(x)=-(x+1)e^(-x)
f"(x)=xe^(-x)・・・(✽)
となります。平均値の定理から

{f(b)-f(a)}/(b-a) =f'(c)=-(c+1)e^(-c) となるa<c<bが存在します。

(✽)からf’(x)は単調増加なので

f’(a)<f'(c)<f'(b)

よって(a+1)e~(-a)<{f(b)-f(a)}/(b-a)<(b+1)e~(-b)

よって題意が成立する。

投稿日時 - 2014-01-25 13:30:50

>多分、平均値の定理だと思うのですが。

その通りです。いい勘してますね。

f(x)=(x+2)e^(-x)
と置くと、区間[a,b]について平均値の定理
が使えます。

a<c<bなるcが存在して
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c)

見やすいようにg(x)=f'(x)と置くと微分法に
よりgは区間[a,b]上で単調増加であることが
わかります。

[a,b]上gの最小値が左辺、gの最大値が右辺
なので不等式を得ます。

投稿日時 - 2014-01-25 07:01:33

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