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解決済みの質問

数III積分(基礎)の質問です。

いつもお世話になりありがとうございます。今回もお手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。

数IIIの積分の計算問題です。

「次の定積分を求めよ
∫(x^2+x)/{(x^2+1)^2} dx  ∫の範囲はx : -1→1です(数学的な書き方がわからずすみません)。」です。

xを何かに置換して解くのではないかと自身では考えているのですが、何に置換すればよいのか分からず、困っています。
ですので、答えだけでなく、解き方を載せてくださると幸いです。

お手数をおかけして申し訳ありません。

宜しくお願い致します。

投稿日時 - 2013-05-07 12:40:55

QNo.8076814

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

置換積分でやりたいですか?
被積分関数に x^2+1 というカタマリを見かけたときは、
x = tanθ を考えると上手くゆく場合があります。

今回は、
∫[-1~1] (x^2+x)/(x^2+1)^2 dx  
= ∫[-π/4~π/4] {(tanθ)^2+(tanθ)}/{(tanθ)^2+1}^2 {1/(cosθ)^2} dθ
= ∫[-π/4~π/4] {(sinθ)^2 + (sinθ)(cosθ)} dθ
= (1/2) ∫[-π/4~π/4] {1 - cos(2θ) + sin(2θ)} dθ
= (1/2) [θ - (1/2)sin(2θ) - (1/2)cos(2θ)]_(θ=-π/4~π/4)
= (1/2) { {π/4 - (1/2)sin(π/2) - (1/2)cos(π/2)} - {-π/4 - (1/2)sin(-π/2) - (1/2)cos(-π/2)} }
= (1/2) {π/2 - sin(π/2)}
= (π-2)/4
となりますね。

投稿日時 - 2013-05-07 23:23:52

お礼

お礼が遅くなってしまい、大変申し訳ありません。どうもありがとうございました。

投稿日時 - 2013-05-23 12:49:26

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回答(2)

ANo.1

I=∫[-1,1](x^2+x)/{(x^2+1)^2} dx
=∫[-1,1](x^2+x)/{(x^2+1)^2} dx
ここで
{x/(x^2+1)}'=1/(x^2+1)-2x^2/(x^2+1)^2
-1/2倍して
-(1/2){x/(x^2+1)}'=-(1/2)/(x^2+1)+x^2/(x^2+1)^2 ...(1)

{1/(x^2+1)}'=-2x/(x^2+1)^2
-1/2倍して
-(1/2){1/(x^2+1)}'=x/(x^2+1)^2 ...(2)
(1),(2)から
(x^2+x)/{(x^2+1)^2}=(1/2)/(x^2+1)
-(1/2){x/(x^2+1)}'-(1/2){1/(x^2+1)}'
従って
I=∫[-1,1](x^2+x)/{(x^2+1)^2} dx
=∫[-1,1](1/2)/(x^2+1)dx-(1/2)[x/(x^2+1)+1/(x^2+1)][-1,1]
=∫[0,1] 1/(x^2+1)dx  ←偶関数の積分
-(1/2)[2/(1+1)]
=[tan^-1(x)][0,1]-(1/2)
=(π/4)-(1/2)
=(π-2)/4

投稿日時 - 2013-05-07 19:12:09

お礼

お礼が遅くなってしまって申し訳ありません。どうもありがとうございました。

投稿日時 - 2013-05-23 12:50:16

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