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締切り済みの質問

2分の1の確率について

数学が弱いので、教えて頂けると助かります。

コインをトスして、裏表を当てるゲームをするとします。
表が出れば勝ちと言う事にします。

1回目のトスでは、表が出る確率は2分の1になりますよね。
では、2回のチャンスが与えられるとすると、2回トスすることができるのですが、この場合表が出る確率というのは、どうなるのでしょうか?
1回目では表が出る確率は50%。
1回目で裏が出た場合、もう1度トスすることができるので、2回の内1回表が出れば良いので、確率としては3分の2となり、66.6%という計算で良いのでしょうか?

同じく3回4回5回とチャレンジできる回数を増やしていくと、確率はどうなるのかが良く分かりません。
例えば最大5回チャレンジ可能として、5回の内1回でも表が出れば良いとすると、表が出る確率は最大どれくらいになりますか?
逆に言うと、5回の内1回も表が出ないと言う事になります。

私の予想では、5回チャレンジすると、表が出る確率は6分の5となり約83%だと思います。

もともと数学は得意ではなかったので、この計算方法で良いのかどうか不安だったので、どなたか教えて頂けると助かります。

とても簡単だと思いますが、よろしくお願いします。

投稿日時 - 2003-12-05 07:32:24

QNo.722760

困ってます

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回答(10)

ANo.10

確率1/2という解釈は統計的な確率(場合の数)実験的な確率があります。

問題の趣旨は場合の数の話と考えるのが自然だとおもいます。

1回目に勝つ確率は
1/2
2回目に勝つ確率は
1回目で勝つか(1/2)
2回目で勝つか(一回目に裏をだし2回目に表を出す)(1/2*1/2)
だから1/2+(1/2*1/2)=1/2+1/4=3/4
ここでは独立事象の和と積の法則を使っています。

N回やって勝つ確率は他の人の回答を参考になさってください。

>私の予想では、5回チャレンジすると、表が出る確率は>6分の5となり約83%だと思います。
本当にチャレンジするのであれば約83%になるかもしれません。(実験的確率)
ただし数学の学問としては
1-(1/2)^5
[全確率(1)]-[5回全部裏が出る確率]=31/32
となります。
もちろん
1回目で勝つ確率+2回目で勝つ確率...+5回目で勝つ確率として求めても同じ答えになります。

投稿日時 - 2003-12-06 04:24:49

お礼

御回答ありがとうございます。

>ここでは独立事象の和と積の法則を使っています。
なんか立派な法則があるみたいですね(^^;
初めて聞きました。
ちゃんと勉強していれば、習っていたことなのかな。。。

誰でも分かりそうな詰まらない質問に、丁寧に回答して頂きありがとうございました。
ポイントを掴んでいて、とてもよく理解することができました。

また何か質問させて頂きことがあるかもしれませんが、その時はまたよろしくお願いします。

投稿日時 - 2003-12-06 17:30:45

ANo.9

Cuty_Catさん、今晩は。私は確率は嫌いなので
このような質問に回答する事はないのですが、No8の回答を見て書きたくなりました。

まず、反問ですが
>1回目のトスでは、表が出る確率は2分の1になりますよね。
これは何故ですか。コインと言っても現実にはいろいろなコイン(歪んだり曲がったり等)がありますよね。No8でも言っているように2通りの事象が有っても確からしさが同じでなければ確率は1/2にはなりません。

確率ではサイコロを題材にした問題が良くありますが、「サイコロの目が出る確率はどれも等しいとする」と言うような、但し書きがあるはずでそれが無ければ欠陥問題です。

要するに数学での確率の問題は理想的(言い換えれば、
非現実的)な場合を前提として考えているわけで、
従ってあくまで現実とは切り離されるべきものですが、この違いに無頓着な方がたまに見受けられるので
敢えて書かせてもらいました。

投稿日時 - 2003-12-06 02:53:09

お礼

御回答ありがとうございます。

確かにコインには歪みがあったりして、裏表の出る確率が同等ではないことも考えられますね。

ですが、今回はそこまで厳密に考える必要もなかったので、簡単に確率としてどうなるか知りたかっただけなんです。

でも、確率の問題って奥が深いのですね。
コインの歪みの有無まで考えないといけない場合があるとな。。。

今後はそのことも頭に入れておこうと思います。

わざわざ、回答して頂きありがとうございました。

投稿日時 - 2003-12-06 17:16:28

ANo.8

Cuty_Catさん、こんにちは。
たくさん回答がついてるので、どうかなあと思ったのですが
*******************************************
私の考えですが、1回目は2分の1になるのですが、1回目で裏が出た場合は、自動的に2回目のチャレンジになるので、下記の通りになると思いました。
┏表

┗裏┳表
  ┃
  ┗裏
上記の末端の数を数えると、1回目の「表」、2回目の「表」と「裏」となり、全部で3パターンあり、その内「表」は2回あるので、3分の2となり2回の内表が出る確率は約66%と思ったのです。
同様に3回チャレンジすると
┏表

┗裏┳表
  ┃
  ┗裏┳表
    ┃
    ┗裏
となり、末端の数は4つなり、そのうち「表」は3、「裏」が1となるので、表が出る確率は4分の3となり75%と言う事になります。
**********************************************
上は、Cuty_Catさんのお考えですね。
表、きれいに描いてありますよね。
確かに、1回目が表だったら、もうトスしなくていいので、それで終わりです。

1回目に表である、ことと
1回目に裏である、ことは同じ確率で起こるので、
どちらも1/2
ですよね?
下の回答にも書かれていますが、

┏表 1/2

┗裏 1/2

ということです。このときに、1回目に裏が出たあとで
2回目のコイントスを行うと、

2回目に表が出るのは、「1回目に裏が出て、その上で、表が出る」
のですから、1/2 × 1/2=1/4
となって、全体から見れば、1/4の確からしさになります。

2回目に裏が出るのも「1回目に裏が出て、その上でまた裏が出る」
ということですから、1/2 × 1/2=1/4
という確からしさです。

なので、

┏表   1/2

┗裏┳表 1/4
  ┃
  ┗裏 1/4

となるので、単純に3つのケースがあって、そのうちの2とおりだから2/3だろう、
としてはいけないんですね。
それぞれの起こる確からしさが全然違っているからなんですね。

ご参考になればうれしいです。

投稿日時 - 2003-12-05 15:45:47

お礼

御回答ありがとうございます。

学生の頃、もうちょっと良く勉強していれば良かったと思ってしまいました(ー_ー;
確率を考えることって、これから先いろいろな所で役に立つと思うので、これからは少しずつ勉強してみようと思います。

解説、とても分かりやすかったです。
丁寧な御回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2003-12-06 17:03:54

ANo.7

いまさら回答するのもなんですが・・・

こういうときは1ステップづつ考えていくといいです。

┏表

┗裏┳表
  ┃
  ┗裏

をまとめて考えるからおかしくなるのです。

┏表

┗裏

なら単純に

┏表(1/2)

┗裏(1/2)

ですね。同様に考えると

┏表(1/2)

┗裏(1/2)┳表 (1/2)→よって1/4
       ┃
       ┗裏 (1/2)→よって1/4

となり、表3/4、裏1/4となります。

あと#3の
>1回目が表であれば、2回目はトスしないので、
こういう問題ではたとえそこで勝負がついていても同じ回数を実行するように考えます。すると

┏表┳表
┃ ┃
┃ ┗裏

┗裏┳表
  ┃
  ┗裏
(上の2回目は実際にはふらないけど「計算上」ふったとしておく、試行回数をそろえるため)
すると全て1/4の確率で起こるため表が出る確率は3/4となります。

難しく考えすぎではなく起こる確率を同じと考えている点に誤りがあります。

投稿日時 - 2003-12-05 11:55:47

お礼

御回答ありがとうございます。

>こういう問題ではたとえそこで勝負がついていても同じ回数を実行するように考えます。
なるほど。
実際に紙に書いては見たのですが、1回目に表が出た場合は次はトスする必要がないから、その後の事は考えないで良いのかどうか迷ってしまいました。
実際は1回目に表が出たら、次はトス必要はないので。

お陰様で、理解することができました。

丁寧な回答をありがとうございました。

投稿日時 - 2003-12-06 16:58:13

ANo.6

ABCDさんがコインを投げるとして、

A 表
B 表
C 裏表
D 裏裏

で3/4=75%のような考え方ではいかがでしょう?

--
#3のお礼での考え方を3人の場合に当てはめようとすると、

A 表
B 裏表
C 裏裏

1回目のコイントスだけを見ると、裏が出る確率が2/3と大きくなっている点がおかしい事に気が付きませんか?

┏表

┗裏┬表
  │
  └裏

━ = 2
─ = 1

のように、場合の「重み」のようなものを考えてみてはどうでしょう?

投稿日時 - 2003-12-05 11:34:47

お礼

御回答ありがとうございます。

「重み」ですか。
考えも付きませんでした。
今後の考え方の参考にしたいと思います。

丁寧な回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2003-12-06 16:50:17

ANo.5

今の時点で出ている答えは3通り(5回)
(1)1/2×1/2×1/2×1/2×1/2=1/32

(2)1-1/2×1/2×1/2×1/2×1/2
  =1-1/32=31/32

(3)1回=1/2  2回=2/3  3回=3/4   4回=4/5   5回=5/6  だから 5/6


(1)は、1回目の時点で確立1/2あり、その後4回もチャンスがあるのに、確率が下がるっていることになります。ので不正解でしょう。

(2)が正解だと思います。

(3)を訂正すると、
1回目で表が出る確率=1/2
2回目で表が出る確率=1/4
3回目で表が出る確率=1/8
4回目で表が出る確率=1/16
5回目で表が出る確率=1/32 の確立で表が出るので、
 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32
 =16/32+8/32+4/32+2/32+1/32
 =31/32
 (2)と同じ答えになります。
No.2のmousengokeさんは、#4でこれを言っているのだと思います。
Cuty_Catさんの考えは方は、間違えではありません。ただ、1回目、2回目・・・と順番に足してしまっただけのことで、考え方は、あっているのです。
根拠だけで考えず、式にしてみると、すぐ答えが出たと思いますよ。(3)を式にしようと頑張ったのですが、できませんでした・・・。

偉そうなこと言っているけど、間違っていたらごめんなさい。数学は得意だったのですが、なにせ時が経ちすぎているもので・・・。

投稿日時 - 2003-12-05 11:21:14

お礼

御回答ありがとうございます。

1つ1つ解説して頂けたので、とても良く理解することができました。
5回もチャレンジできるとすると、かなり確率も高くなるんですね。
約97%とは、実際はほとんど5回の内に1回は表がでることが 理論上言えるのですね。

つまらない質問にも関わらず、丁寧な回答をして頂きありがとうございました。

投稿日時 - 2003-12-06 16:47:26

ANo.4

No.2のmousengokeです。
先に投稿したときに不要の部分に表とか裏とか書き忘れましたが
1回目に表が出た場合その時点で勝利が決まっているので振る必要はありませんが、裏が出たときに2回振ることになるのなら1回目の表のときも2回目も振ったと考えた方がいいのです。

下の図での説明だと

1回目で
┏表(1/2)

┗裏(1/2)

となり2回目で1回目の裏のときだけ再度振るので
┏表 (1/2)

┗裏┳表 (1/4)
 1/2┃
   ┗裏 (1/4)
末端でもそれが起こる確率は違うことになるのです。

投稿日時 - 2003-12-05 09:01:13

お礼

お礼が遅くなって、すみません。
御回答ありがとうございます。

考え方を理解することができました。
丁寧な回答をありがとうございました。

投稿日時 - 2003-12-06 16:38:35

ANo.3

はじめまして。書き込みさせていただきます。

2回トスする場合、コインの裏表の出るパターンは
 (1)1回目に表が出る-2回目に表が出る。
 (2)1回目に表が出る-2回目に裏が出る。
 (3)1回目に裏が出る-2回目に表が出る。
 (4)1回目に裏が出る-2回目に裏が出る。
の4つのパターンが考えられます。
1回でも表が出るのは、(1)、(2)、(3)のパターンなので確率は4分の3となります。

3回トスする場合、コインの裏表の出るパターンは
 (1)1回目:表-2回目:表-3回目:-表
 (2)1回目:表-2回目:表-3回目:-裏
 (3)1回目:表-2回目:裏-3回目:-表
 (4)1回目:表-2回目:裏-3回目:-裏
 (5)1回目:裏-2回目:表-3回目:-表
 (6)1回目:裏-2回目:表-3回目:-裏
 (7)1回目:裏-2回目:裏-3回目:-表
 (8)1回目:裏-2回目:裏-3回目:-裏
の8つのパターンが考えられます。
 1回でも表が出るのは、全部が裏の(8)以外の7つのパターンなので確率は8分の7となります。

では、5回の場合は。
2回投げた時は4つのパターン=2×2=4
3回投げた時は8つのパターン=2×2×2=8
【コインの裏表2面を投げた回数だけかけた】
と考えることができるので
5回投げた時は2×2×2×2×2=32のパターンがあると考えられます。32のパターンのうち全部裏になるのは1つのパターンしかないと思われるので、1回でも表が出るパターンは31。
確率は32分の31となると思います。

もし参考にしていただければ幸いです。

投稿日時 - 2003-12-05 08:02:40

お礼

早速の御回答ありがとうございます。
-------------------------------------
(1)1回目に表が出る-2回目に表が出る。
(2)1回目に表が出る-2回目に裏が出る。
(3)1回目に裏が出る-2回目に表が出る。
(4)1回目に裏が出る-2回目に裏が出る。
の4つのパターンが考えられます。
1回でも表が出るのは、(1)、(2)、(3)のパターンなので確率は4分の3となります。
-------------------------------------
上記についてですが、1回目が表であれば、2回目はトスしないので、1回目表、2回目表or裏というパターンはないと思うんです。
なので、1回目が表の場合2回目のトスで得られるパターンをカウントしないとすると、1回目が裏が出た時のみ、2回目のトスで得られるパターンをカウントするとどうでしょうか。

すると、2回目のトスが終わった時点で得られるパターンと言うのは、
1回目が表。
2回目が表。
2回目が裏。
上記3パターンとなり、表が出る確率は3分の2で約66%とはならないのでしょうか?

下の回答者の方の所に、図解で書いてみましたので、1度見てみて下さい。


どうも、完全理解とまでは行っていないです。
私の頭が固いからかな(ー_ー;

投稿日時 - 2003-12-05 08:28:55

ANo.2

確率aでおきることと確率bでおきることが同時におきる確率はa×bと積であらわせるのです。

2回の内1回表が出る確率は
1回目で表が出る確率
1/2
1回目で裏が出て2回目で表が出る確率
1/2×1/2=1/4
これらを加えると
1/2+1/4=3/4
となります。

あるいは
2回とも裏の出る確率
1/2×1/2=1/4
少なくとも1回は表の出る確率は上記以外なので
1-1/4=3/4

回数が多くなればなるほど後者でやったほうが楽でしょう。

ちなみに2回の場合の起こることについて全て書き出すと
表 不要
表 不要
裏 表
裏 裏
となります。

投稿日時 - 2003-12-05 07:48:28

お礼

早速の御回答ありがとうございます。

やっぱり単純に考えて、そのような計算になってしまうのかな。
私が難しく考え過ぎ?(^^;

私の考えですが、1回目は2分の1になるのですが、1回目で裏が出た場合は、自動的に2回目のチャレンジになるので、下記の通りになると思いました。
┏表

┗裏┳表
  ┃
  ┗裏
上記の末端の数を数えると、1回目の「表」、2回目の「表」と「裏」となり、全部で3パターンあり、その内「表」は2回あるので、3分の2となり2回の内表が出る確率は約66%と思ったのです。
同様に3回チャレンジすると
┏表

┗裏┳表
  ┃
  ┗裏┳表
    ┃
    ┗裏
となり、末端の数は4つなり、そのうち「表」は3、「裏」が1となるので、表が出る確率は4分の3となり75%と言う事になります。

これは末端の結果のみを見るからこのような確率になるのですが、やっぱり間違った考え方なのでしょうか。

もうちょっと考えてみます(ー_ー)

投稿日時 - 2003-12-05 08:18:51

ANo.1

2回チャンスがあるとすれば、「2回とも裏が出た」という結果以外が勝ちになるのですから、
「2回とも裏が出る確率」は、0.5*0.5=0.25
よって、勝つ確率は 1ー0.25=0.75

4回チャンスあれば、
1-0.5*0.5*0.5*0.5
が答えになると思います。

投稿日時 - 2003-12-05 07:46:55

お礼

早速の御回答ありがとうございます。

やっぱり単純に考えて、そのような計算になってしまうのかな。
私が難しく考え過ぎ?(^^;

私の考えですが、1回目は2分の1になるのですが、1回目で裏が出た場合は、自動的に2回目のチャレンジになるので、下記の通りになると思いました。
┏表

┗裏┳表
  ┃
  ┗裏
上記の末端の数を数えると、1回目の「表」、2回目の「表」と「裏」となり、全部で3パターンあり、その内「表」は2回あるので、3分の2となり2回の内表が出る確率は約66%と思ったのです。
同様に3回チャレンジすると
┏表

┗裏┳表
  ┃
  ┗裏┳表
    ┃
    ┗裏
となり、末端の数は4つなり、そのうち「表」は3、「裏」が1となるので、表が出る確率は4分の3となり75%と言う事になります。

これは末端の結果のみを見るからこのような確率になるのですが、やっぱり間違った考え方なのでしょうか。

もうちょっと考えてみます(ー_ー)

投稿日時 - 2003-12-05 08:17:25

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