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解決済みの質問

数III 積分

高校の数IIIで2つほど質問があります。

〔1〕
I_1=∫1/(x+1)^2dx , I_2=∫x/(x+1)^2dx をそれぞれ求めよ。

この問題でI_1を求めて、その結果を利用してI_2を部分積分して
I_2=log|x+1|-x/(x+1)+C (Cは積分定数) と答えを出したのですが
解答では右辺の符号はすべて+となっています。
何度、計算をしても-が出てしまい、お手上げです。

〔2〕
C:y=とL:y=1/(√3)xおよびx軸で囲まれた領域をx軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ。

という問題です。
Lを回転して出来る立体の体積からCを回転して出来る立体の体積を引いて求めるというやり方は
理解しているんですが、どうも計算が上手くいきません。
π∫[0→3](1/(√3)x)^2dx-π∫[3/2→3](√(2x-3))^2dx
という式は立てられていて、そこから答えを導くことが出来ません。
どのように計算方法と結果を教えてください。


以上の2問。
回答をお待ちしております。

投稿日時 - 2011-11-10 05:53:22

QNo.7124232

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質問者が選んだベストアンサー

[1]
I_1=∫1/(x+1)^2dx=∫(x+1)^(-2)dx=-(x+1)^(-1)+C = -(1/(x+1)) +C (Cは積分定数)

I_2=∫x/(x+1)^2dx=∫(x+1-1)/(x+1)^2dx=∫(1/(x+1))-(1/(x+1)^2)dx
=∫1/(x+1)dx -∫1/(x+1)^2dx
=log|x+1| - I_1
=log|x+1| +(1/(x+1)) + C (Cは積分定数)

>I_2=log|x+1|-x/(x+1)+C (Cは積分定数) と答えを出したのですが
=log|x+1|+(1-(x+1))/(x+1) +C
=log|x+1|+(1/(x+1))-1+C ← C'=C-1とおく
  =log|x+1|+(1/(x+1)) +C'

>解答では右辺の符号はすべて+となっています。
上のように変形すれば符号はすべて+です。

[2]
> C:y=とL:y=1/(√3)xおよびx軸で囲まれた領域をx軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ。
Cが書いてないですが C:y=√(2x-3) …(1)ですか?
またLは
 L:y=(1/(√3))x …(2)
 L:y=1/((√3)x) …(3)
のどちらですか?

(1),(2)として回答します。

>π∫[0→3] (1/√3)^2*x^2 dx -π∫[3/2→3](√(2x-3))^2 dx
=π∫[0→3] (1/3)x^2 dx -π∫[3/2→3] (2x-3) dx
=π[(1/9)x^3](x=3)- π[(1/4)(2x-3)^2](x=3)
=3π-π(9/4)=3π/4

投稿日時 - 2011-11-10 08:05:32

お礼

不定積分で答えの表し方が1通りではないことは分かってたんですが……
そのような積分定数の置き方で答えが違ってしまうんですね。
式まで出していただきありがとうございます。

また、質問に不備があり、すみませんでした。解いていただいた式で間違いないです。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2011-11-10 15:08:38

ANo.2

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回答(3)

ANo.3

No1です。 あなたの答えで合ってますよ。自信を持ってください。解答例はlog|x+1|+1/(x+1)+Cではありませんか?もしそうなら、あなたの答えはlog|x+1|-x/(x+1)+Cだから2つとも同じ答えです(積分定数のとりかたの違いです)。とりあえず不定積分で答えを出したら、微分して検算することを薦めます。微分の練習も両方できます。2番めの問題は式が書けているんですから、あとは自信を持って地道に計算を実行することです。めんどくさがったらいけません。

投稿日時 - 2011-11-10 13:03:53

お礼

回答例は仰せの通りです。何度やっても自分のやり方と答えが合わずに焦っていました。
勇気付けていただきありがとうございます。検算もしていこうと思います。

投稿日時 - 2011-11-10 15:10:41

ANo.1

[1]はあなたの解答が正解では? 正解かどうかは解答例をみるんではなくて、微分してみてチェックするんです。だってテスト中に解答例はみれないでしょ?

[2]C:y=? ?はなんでしょう?

投稿日時 - 2011-11-10 06:12:47

補足

[1]ですが、略解で、I_1+I_2を計算して最後にI_1を移項していて
それが正しいならI_1は負なのでやはり右辺は+なのかな……と。

すみません、C:y=√(2x-3) です。

投稿日時 - 2011-11-10 07:46:01

お礼

2度の回答、ありがとうございます。

投稿日時 - 2011-11-10 15:11:04