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運動量と角運動量の違いと慣性モーメント

運動量と角運動量の違いと、慣性モーメントについて教えて頂けませんか?

●運動量P
P=mv
●角運動量L
L=rP
L=Iω
●慣性モーメントI
I=mr^2

この式まではわかるのですが、運動量と角運動量が具体的にどう違うのかがわかりません。
運動量にベクトルを加えたのが角運動量だと言う事は何となくわかるのですが。
特にLのベクトル方向について、なぜ逆向きになるのかなど教えてください。
あと、慣性モーメントについては理解が出来ません。
SI単位に直すとgm^2になるのはわかりますが、m^2というと面積のことなのでしょうか?
もしそうであれば、gm^2は面積当たりの重さを表すものだと思うのですが。

手元にある資料を見てもよくわからないので、噛み砕いて説明していただけるとありがたいです。

投稿日時 - 2008-06-13 15:02:06

QNo.4097571

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

>運動量にベクトルを加えたのが角運動量だと言う事は何となくわかる・・・
 運動量はベクトルでなく(たんなる数値で)、角運動量はベクトルだと思っている、という印象を受けました。
 運動量もベクトルです。質量m(数値)の速度ベクトルをvとして、

  P=mv

となります(mは質量)。そして、運動量ベクトルPと、Pを持つ質点mの位置ベクトルrとから作られるベクトルが、角運動量ベクトルLです。

  L=r×P=r×(mv)=m(r×v)

となります。ここで「×」は、二つのベクトルの外積を表します。
 L=Iωについてですが、例えば、等速円運動の角速度をω(数値)とした場合、

  |L|=|r×P|=|r×(mv)|=m|r×v|
    =m|r|・|v|=m|r|・|r|ω
    =m|r|^2・ω=mr^2=Iω  (1)

が本来の意味です。ここで「| |」はベクトルの長さ、「・」は数値の積を表し、最後の「r^2」は、rベクトルの内積の二乗で、|r|^2=r^2と良く書かれます。

>特にLのベクトル方向について、なぜ逆向きになるのか?
 これは、どういう事態かちょっとわかりませんでした。補足を下さい。

>SI単位に直すとgm^2になるのはわかりますが、m^2というと面積のこと?
 (1)式で述べたように、位置ベクトルrの長さと|r|と、角速度と速度ベクトルの長さ(速さ)との比率|r|の積が、角運動量の中でr^2となって現れているだけです。

>もしそうであれば、gm^2は面積当たりの重さを表すものだと思うのですが
 これも、何故そういう風に考えざる得ない事態になったのですか?。補足を下さい。

投稿日時 - 2008-06-13 22:44:49

補足

回答ありがとうございます。
Lの向きについてですが、x、y、z座標で、xy平面を物体が円運動を行う時に回転方向に対してz座標でのLがどうなるのかということです。
色々調べてみましたが、右ねじの法則が関係するらしきものを見つけました。
gm^2については勘違いでした。
単位面積あたりの重さはg/m^2でしたね。
知識が浅くて申し訳ないです。

投稿日時 - 2008-06-16 13:54:59

お礼

>運動量はベクトルでなく(たんなる数値で)、角運動量はベクトルだと思っている、という印象を受けました。
おっしゃる通りでした。
「角」に対する「運動量」というのはやはり運動量でなければならないということですね。
一つ理解が深まりました。
ありがとうございます。

投稿日時 - 2008-06-16 14:07:50

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回答(5)

ANo.5

No.2です。
下記について

>(1/2)mv^2 と (1/2)Iw^2
>この対比を考えると、慣性モーメントは質量mに、角速度wは速度vに相当し、回転のしにくさを表わす量として納得できました。
この対比はよくわかりませんでしたが、回答を頂けたことに感謝です。


r・w = 0
の単純な円運動の場合で考えると、下記のようになり、私にはイメージを掴みやすかったからです。

(1/2)mv^2 = (1/2)m(wxr)・(wxr)
= (1/2)(mr^2)w^2
= (1/2)Iw^2

投稿日時 - 2008-06-17 05:55:13

お礼

申し訳ありませんが、私はこちらでは理解しにくいです。
一応、理解の方は出来ました。

対比しているのが
(1/2)×(質量)×(速度)^2
ということですね。

運動量:P=(1/2)mv^2
角運動量:L=(1/2)Iω^2

ただ、Iは質量ではなく係数(慣性モーメント:回しにくさ)ですが、質量としてとらえた場合に対比することが出来ると言うことですね。
(1/2)というのが何だかよくわかりませんが。
少し理解出来ましたので、参考書などで勉強します。
回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2008-06-17 09:52:33

 #1です。

>”LはなぜPとrに直交するか?”
 どうすれば回転を定義できるか、想像してみて下さい。回転は、回転軸と回転の勢いを与えれば、定義できると思いませんか?。
 回転軸を与えるためには、回転の中心と軸の方向が必要ですが、特に中心位置にこだわらない場合は、座標原点をとります(rベクトルの始点)。次に軸の方向ですが、回転軸が、rとvベクトル(またはP=mv)で張られる平面に直交するのは、明らかと思えませんか?。
 回転の勢いですが、上記で定義される平面内で考えると、rに左回りに直交する方向とvとの成す角をθとして、|r||v|sinθで与えられます。なぜ|r|をかけるかと言うと、同じ角速度でも、rの終点での回転の勢いが、|r|に比例するので、このように定義します。
 以上のような性質を全て備えているのが、角運動量ベクトル、

  L=r×P,±|L|=m|r||v||sinθ|×[sinθの符号]

です。回転方向を逆向きにすると、sinθの符号も逆になるので、Lの方向も反対になります。

 右ねじ,左ねじに関しては、次のようになります。xy平面内の回転については、ふつう左回りを正とします。このときLを作ると、(0,0,z)の形になり、右ねじだとz>0で都合が良いので、たいてい右ねじ(右手系)でLを定義します。

投稿日時 - 2008-06-16 18:29:34

お礼

Lのベクトルは回転軸を取るためにあるんですね。
詳しく式まで書いて頂きありがとうございます。
大体理解出来ましたので、参考書を見ながら勉強します。
本当にありがとうございました。

投稿日時 - 2008-06-17 09:19:47

ANo.3

運動量とは、よく言われるように運動する物体の勢いですね。
P=mv
つまり
dP/dt=F (運動量の時間微分(時間変化)は力)
となります。速度vはベクトルですのでPはベクトルです。

角運動量は回転運動における運動量みたいなものと考えてください。
回転での力といえば力のモーメントがありますね
N=rF ってやつ。テコとかご存知でしょ。
角運動量を定義すると
dL/dt=N (角運動量の時間微分(時間変化)は力(のモーメント))
っと、上記の運動量Pとの整合性がでてきます。もちろんLはベクトルです。

>特にLのベクトル方向について、なぜ逆向きになるのかなど教えてください

えっと、これは”LはなぜPとrに直交するか?”と受け取っていいのでしょうか?詳しいことは他の方におまかせするとして、私なりに答えさせていただくと、「そうすると都合がいい」かな?

慣性モーメントは、回転運動における質量みたいなものと考えてください。
運動量がP=mvならば
角運動量もL=(重さ)×(速さ)の形であるろうと類推されます。
回転運動での力学ですから速さは角速度ω。重さに対応するのが慣性モーメントです。というよりL=Iωで、比例係数Iを慣性モーメントというのが定義なんですよ。

どうもしっくりこないようでしたら、なっとくするベクトル(講談社/小野寺嘉孝著)とかオススメです。

投稿日時 - 2008-06-13 23:52:43

補足

>えっと、これは”LはなぜPとrに直交するか?”と受け取っていいのでしょうか?
それもあるのですが、逆回転させるとLのベクトル方向が逆向きになるということについて詳しく知りたいのです。
LはなぜPとrに直交するか?ということも加えて教えて頂けると助かります。(他の方でも答えて頂けるならお願いします)
どうも理解が浅くて混乱してしまうので、質問内容が外れていることがありますがご容赦ください。

投稿日時 - 2008-06-16 14:14:45

お礼

詳しく回答頂きありがとうございます。
理解が深まり、絡まった糸が少し解けたような気がします。
参考資料なども教えて頂きありがとうございます。
折を見て探してみようと思います。

投稿日時 - 2008-06-16 14:24:02

ANo.2

私も慣性モーメントは苦手です。回転のしにくさを表わす量なんて言われてもピンときません。でベクトル解析の本を開いてみると面白い式がありました。

剛体の運動エネルギー
= (1/2)w・L
= (1/2)(Ixx・wx^2 + Iyy・wy^2 + Izz・wz^2 +2Ixy・wx・wy + ・・・・

P = mv と L = Iw
(1/2)mv^2 と (1/2)Iw^2
この対比を考えると、慣性モーメントは質量mに、角速度wは速度vに相当し、回転のしにくさを表わす量として納得できました。


>特にLのベクトル方向について、なぜ逆向きになるのかなど教えてください。
何に対して逆向きなのでしょうか。意味分からず。

投稿日時 - 2008-06-13 23:13:52

補足

上の捕捉にもありますように、z座標でのLの方向の±という意味です。
回転方向を逆にすると、zの座標も+から-になるようです。
そのあたりの知識が浅いので詳しく教えて頂けないでしょうか。

投稿日時 - 2008-06-16 14:01:05

お礼

>(1/2)mv^2 と (1/2)Iw^2
>この対比を考えると、慣性モーメントは質量mに、角速度wは速度vに相当し、回転のしにくさを表わす量として納得できました。
この対比はよくわかりませんでしたが、回答を頂けたことに感謝です。

投稿日時 - 2008-06-16 14:12:34

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