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解決済みの質問

断面二次モーメントの計算方法について

最近大学で断面二次モーメントというのを習ったのですが、教科書には公式しか載っていなく、具体的な計算方法がわかりません。
円(pid^4/64)三角形(bh^3/36)の導出方法を教えてください

投稿日時 - 2007-10-30 01:14:27

QNo.3473367

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

>具体的な数式を教えてほしいです

底辺b,高さhの三角形の,底辺を軸とした断面二次モーメントIを例とします.
底辺からの距離をxとし,その部分での底辺以外の2本の線分の間の距離をl(x)とすると,

l(x)=b-(b/h)x

ですね.この位置での高さdxの微小長方形の面積をdSとすれば,

dS=l(x) × dx
  =(b-(b/h)x)dx

この微小長方形の断面二次モーメントdIは,

dI=x^2 × dS

従って,上記の三角形の断面二次モーメントIは,積分範囲は0~hで,

I=∫dI
 =∫x^2dS
 =∫x^2(b-(b/h)x)dx
 =(bh^3)/3 - (bh^3)/4
 =(1/12)bh^3

お書きになったのは,図心を通る軸周りの断面二次モーメントの公式だと思われますので,
上記のIを,図心までずらした断面二次モーメントをI’とします.

I’=I-(h/3)^2×bh/2
  =(1/36)bh^3

となります.
図心を通る断面二次モーメントが最小であることに注意して下さい.
(だから上記は「I+・・・」ではなく「I-・・・」となっている.)

同じように,円の場合は,極座標で考えて半径rの位置にある円環の微小面積dSは,
dS=π(r+dr)^2 - πr^2
  =π(r^2+2rdr+dr^2 - r^2)
  ≒2πrdr
となります.ここで高次の微小項(dr^2)は無視しています.
あとはご自分で鍛錬をば.
但しこちらは極座標であることに注意して下さい.

投稿日時 - 2007-10-31 03:24:06

お礼

なるほど、自分でやっても全然計算が合わないと思っていたのはず新を通る軸周りのモーメントということだったのですね^^;円のほうもなんとかできそうです、ありがとうございました

投稿日時 - 2007-10-31 04:02:20

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回答(2)

ANo.1

微小面積を作って,それを領域で積分します.
円の場合は円環を半径方向に積分し,三角形は微小長方形を積分します.
台形でなく長方形で良いのは,三角形がまっすぐな線分で囲まれているからです.

投稿日時 - 2007-10-30 01:36:51

補足

具体的な数式を教えてほしいです

投稿日時 - 2007-10-30 17:40:44

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