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解決済みの質問

証明問題?(積分)

P(x) が3次の整式であるとき、次の式が成り立つことを示せ
 ∫(a,b) P(x)dx = {(b-a)/6}*[P(a)+P(b)+4P{(a+b)/2}]

と言う問題です。 ∫(a,b)は、aからbまで積分する と言いたかったんです(どうかけば良いか分からなかったので..
お願いします。

投稿日時 - 2002-01-24 22:54:44

QNo.204912

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

少々力押しですが、
 P(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d
として、両辺を計算してみましょう。

…それとも、そういった力押しをせずに解く方法はないか、という意味でしょうか?

投稿日時 - 2002-01-24 23:12:32

お礼

力押しですね。
ありがとうございます。多分できたと思います(何

投稿日時 - 2002-01-25 12:14:29

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回答(3)

ANo.3

>#1のhitomuraさんとまったく同じ方法なのですが、式の表記だけ変えてみて、
>P_n(x)=(c_n)x^nという単項式(c_nはn次の項の係数)とおいてみると、
>n=0,1,2,3のときに上式が成立することが、多項式を一気に扱うよりはだいぶん楽にわかります。
(No.2のkony0さんの回答、一部省略)
あぁっ、まったくもってそのとおりでした(^^;

これは積分の線形性によってそのようなことがいえるのですが、また線形性によって証明すべきことは
 Q_n(x)=x^n
で済みます。
#念のため、ベクトル空間Vの元に対する演算Γが線形であるとは、
#Vの任意の元v,wと定数aに対して
#(1)Γ(v+w)=Γ(v)+Γ(w)
#(2)Γ(a*v)=a*Γ(v)
#が成り立つことを言います。
#3次までの多項式全体をP(3)と書くと、これは4次ベクトル空間であり、
#aからbまでの定積分はP(3)から実数への演算となります。
#この定積分に対して(1)と(2)が成り立つので証明すべき式はQ_n(x)=x^n(n=0,1,2,3)
だけで済みます。

投稿日時 - 2002-01-25 01:42:04

お礼

既に未知の領域です(汗
先に自分がどこまで分かるのか言っておいた方がよかったですね

投稿日時 - 2002-01-25 12:17:55

ANo.2

#1のhitomuraさんとまったく同じ方法なのですが、式の表記だけ変えてみて、
P_n(x)=(c_n)x^nという単項式(c_nはn次の項の係数)とおいてみると、
n=0,1,2,3のときに上式が成立することが、多項式を一気に扱うよりはだいぶん楽に(いや、本質的にやるべきことはまったく変わらないのですが^^;項がいっぱいあると目がちかちかするかな?と思って)わかります。ちなみにn=4のとき上式が成り立たないこともわかります。(それ以上のnについては考えてもいません)
任意の3次式で成立するならば、単項式でも成立するはず(係数が0の特別な場合)という考え。
あとは、P(x)=P_0(x) + P_1(x) + P_2(x) + P_3(x)を考えて、一般の3次多項式でも成り立つということではだめでしょうか?

さて、3次関数の図形的性質みたいなものはあるのでしょうか?!(考えてもいないですが^^;)

投稿日時 - 2002-01-25 00:42:00

補足

あの…、 _ の意味が分からないんですけど…。すいません。

投稿日時 - 2002-01-25 12:14:41

お礼

まあいいや。ありがとうございました

投稿日時 - 2002-01-25 16:05:38