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解決済みの質問

5つの穴に入る確率を教えてください

円盤状のものに10個の穴が空いており、ぐるぐる回っています。カジノのルーレットをご想像下さい。
この装置に12個のボールを流し込みます。10個の穴のうち5個に印がついており、12個のボールのうち5個以上が、この「印のついた穴」に入れば成功、というゲームがあります。
このとき、成功する確率は何パーセントでしょうか。

実は、ゲームセンターにこういうゲームがあるんです。経験的には2割くらい成功しているような気がします。昔勉強した順列や組合せを思い出していろいろやってみたのですが、場合分けが多すぎたり少なすぎたりしているようで、変な数字ばかり導かれてしまいます。

詳しい方、ぜひ御教授下さい。お願いいたします。
追伸、もし可能であれば、印のついた穴に入るボールが「0個」「1個」…「4個」の場合の確率も知りたいです。

投稿日時 - 2004-12-01 12:36:34

QNo.1107782

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

 「1~5」の穴が印つきで、「6~10」が印なしとします。
 まず入る穴が1~5(1~5のみに入り、かつ1~5の全てに入る)である入り方を求めます。
 1~2に入る入り方 2つの穴に12個の玉を入れる入れ方は2^12=4096通りだが、この中には、どちらか一方にしか入らないものが2通りある。よって4094通りとなる。
 1~3に入る入り方 3つの穴に12個の玉を入れる入れ方は3^12通りだが、この中には3つの内1つか2つにしか入らないものがある。1つにしか入らないものは3通りで、2つにしか入らないものは、1と2に入るものと1と3に入るものと2と3に入るものがあるので、4094×3通りとなる。
 よって、1~3に入る入り方は、(3^12)-(4094×3)-3=519156通りとなる。
 1~4に入る入り方 (4^12)-(519156×4)-(4094×6)-4=14676024通りとなる。
 この要領で計算すると、1~5に入る入り方は165528000通りとなり、これが、1~5を含む5つの穴に入る入り方となります。
 1~5を含む6つの穴に入る入り方 まず1~6に入る入り方を求める。953029440通り
 1~6だけでなく1~5と7や、1~5と8などもあるので、1~5を固定し、残り1つは6~10のどれにもなる、と考えると、これらは5通りとなる。
 これらは先ほどの953029440通りのそれぞれが、5通りに分けられるということなので、953029440×5=4765147200通りとなる。これが1~5を含む6つの穴に入る入り方である。
 このようにして1~5を含む7~10個の穴に入る入り方も求めると、それらの和である、印のついた1~5の全てに入る入り方(もちろん6~10にも入るものも含む)は147273984000通りとなります。
 あらゆる入り方の総合計は10^12、つまり1兆通りなので、確率は14.7273984%となる。
 また、1~5のなかの4つに入る(6~10にも入るものも含む)確率は、41.0681820120 %となります。結果的には、6番と7番の回答者さんとほぼおなじですね。
 自分では理解できているのですが、ちょっとわかりにくかったでしょうか!?

参考URL:http://www.geocities.jp/iceland01234/1/b.htm

投稿日時 - 2004-12-02 20:09:12

お礼

回答ありがとうございました!私のような素人にとって、分かりやすく丁寧なご説明でした。

皆さんにポイントを差し上げたいのですが、仕組み上そうもいかないみたいなので、
一番私にとって分かりやすかったNo.8さん
全パターンの確率を教えてくださったNo.6さん
に差し上げます。

皆さん本当にありがとうございました。以前から考えたことが解決して、すっきりしました。

投稿日時 - 2004-12-03 00:44:56

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回答(8)

ANo.7

印のついた穴に少なくとも一個のボールが落ちたならば、
その穴を「条件をクリアした穴」と呼ぶことにします。
ボールは一個ずつ投入するものとします。
n 回目(n≧1)に投入したボールが穴に落ちた直後、条件を
クリアしている穴の個数が k である確率を Q(n,k) とします。
0≦k≦5, k≦n です。
Q(n,k)について、次のような式が成り立ちます。


Q(n,k)=

(1/2)^n,(k=0 のとき)

Comb[5,k] * (1/10)^k * k!, (n=k のとき)

((5+k)/10)*Q(n-1,k) + ((6-k)/10)*Q(n-1,k-1). (上記以外)


求める確率は Q(12,5) です。
上の式を用いて計算ソフトに計算させた結果、次のように
なりました。

Q(12,5) = 575289/3906250 (= 0.147 … )  (答)



また、このゲームで印のついた穴に入るボールの数が例えば4個である確率は
Q(12,4) です。

Q(12,4)=10267045503/25000000000 (=0.410 …)

投稿日時 - 2004-12-02 18:11:51

お礼

回答ありがとうございました。
私が感覚的に2割、と思っていたのは、まんざらでもなかったんですね。

投稿日時 - 2004-12-03 00:36:39

ANo.6

ryn

どうもうまく説明できないですが…

時間的に早く穴に入った順に
ボールに番号をつけます.

いくつかボールが穴に入った段階で
k 個の異なる当たりの穴は入り終わってるとすると,
次のボールが新しいあたりの穴に入る確率は
 (5-k)/10
となります.

ここで,
 p 番目まではずれて,次のボールが初めてのあたり
 続く q 個がはずれてその次のボールが新しいあたり
 その後はずれもしくは今までのあたりの穴に入り続ける
といった感じで,最終的に2個の異なる当たりの穴に
ボールが入った場合を例に見てみます.

この場合の確率は
 (5/10)^p*(5/10)*(6/10)^q*(4/10)*(7/10)^(10-p-q)  …(1)
となります.

ここで,p,q は
 0 ≦ p+q ≦ 10
を満たす0以上の整数なので,
この範囲で(1)式の和をとり
 (5/10)(4/10)Σ(5/10)^p*(6/10)^q*(7/10)^(10-p-q)
とすると,最終的に2個の異なる当たりの穴に
ボールが入ったときの確率が出てきます.

具体的に計算すると
 10*(7^12 - 2*6^12 + 5^12)/10^12
が求める確率になります.


同様にして
 0個: 1*5^12/10^12
 1個: 5*(6^12 - 5^12)/10^12
 2個: 10*(7^12 - 2*6^12 + 5^12)/10^12
 3個: 10*(8^12 - 3*7^12 + 3*6^12 - 5^12)/10^12
 4個: 5*(9^12 - 4*8^12 + 6*7^12 - 4*6^12 + 5^12)/10^12
 5個: 1*(10^12 - 5*9^12 + 10*8^12 - 10*7^12 + 5*6^12 - 5^12)/10^12
となります.

具体的数値はパーセントで
 0個: 0.0244
 1個: 0.9663
 2個: 9.7318
 3個: 33.4818
 4個: 41.0681
 5個: 14.7273
です.


約15%成功するといった感じですね.

投稿日時 - 2004-12-02 17:00:18

お礼

回答ありがとうございます。
途中の説明が難しいのですが、何とか頑張って解読しています。
5個以外のときの確率も調べて頂き、ありがとうございました!

投稿日時 - 2004-12-03 00:34:21

ANo.5

12P5*(1/10)^5*(9/10)^7≒0.4546
約45%と出たのですが。

投稿日時 - 2004-12-02 16:14:19

お礼

あ、すみません。
12P7の計算を間違えてしまいました。
(No.4のお礼のところです)

45%だと、ちょっと大きな値ですね…。

投稿日時 - 2004-12-02 23:46:51

ANo.4

「確率」の字を誤変換していました。すみません。

穴に入るボールが0個の確率は10個の穴のうち印の無い5個の穴にすべてのボールが入る確率だから

(5/10)^12

5個の穴のs個の穴を選ぶ組み合わせは5Cs
12個のボールのうちt個のボールを選ぶ組み合わせは12Ct
しるしのついた穴に入る場合をu回

5Cs*12Ct*(1/2)^u*(1/2)^(12-u)

1個・・・5*12*(1/2)^12

ただし,2個以上印のついた穴に入るときは,同じ穴に入る可能性があるので場合わけが必要です。

10個の穴のうち,印のついた穴をA~Eとしますと,それぞれの穴に入る確率はすべて1/10。

5個のボールがA~Eの穴を埋める確率は(1/10)^5

Aの穴に入る確率は(1/10)で,入らない確率は(9/10)

12個のボールのうち5個のボールがねらった穴に入る組み合わせは12P5

ゆえに 求める確立は 12P5*(1/10)^5*(9/10)^7

と考えましたが,2割くらいになりませんね。

考え方が間違っているのか,機械に細工がしてあるのか,専門家のご意見をお待ちします。

私も正答が知りたい。

投稿日時 - 2004-12-02 10:59:24

お礼

回答ありがとうございます!
お答えいただいた回答だと、
12!/7!*(1/10)^5*(9/10)^7
とすると、約0.38%ですか。
1000回やって3~4回成功ということになってしまいますね。いや、もっと成功しているように感じます。

気がついたのは、狙った穴に5個入るケースのみ計算されている点です。6~12個が、印のついた穴に入っても、成功です。ただし、これらのパターンを考慮しても、あまり確率は上がりそうにないですが。

全てのボールが、印のついていない穴に入る確率は、御指摘どおり、1/4096=約0.025% ですね。
印のついている5つの穴に全て入れるより難しいです。
ちなみに私、これを1回だけ出したことがあります。(本筋とは全く関係ありませんが…。)

投稿日時 - 2004-12-02 13:05:39

ANo.3

条件がよくわかりません。

ひとつの穴にボールはいくつでも入るのでしょうか。
それでは成功の可能性が高すぎてゲームが成立しないでしょうね。

それとも印のついた5個の穴すべてを埋める必要があるのですか。

ひとつの穴にボールがひとつしか入らなければ,必ずすべての穴にボールが入ることになります。

いずれの穴にも入らないボールがありますか?もしあればその確立が必要です。

また,最初の1個が投入されたとき,すべての穴に等しい確立でボールが入ると考えていいのでしょうか。

投稿日時 - 2004-12-01 13:14:59

補足

不正確な説明でした。申し訳ありません。
補足させて頂きます。

1つの穴に、ボールはいくつでも入りますが、印の付いた5つすべてに入る必要があります。
穴に入ったら玉は下に落ちて、その穴にはまた別の玉が入る可能性があるということです。

いずれの穴にも入らないボール、というのはありません。またすべての穴に等しい確率でボールが入ると考えて頂いて結構です。

どうかよろしくお願いいたします。

投稿日時 - 2004-12-02 01:19:52

ANo.2

補足お願いします。
1.ルーレットのような状態だと玉が一つしか入りませんが、パチンコのようにいくつでも入るのでしょうか?
2.印の入った穴はどれでもいいんでしょうか?それとも全部入って成功なんでしょうか?つまり印の入った一つの穴に5個玉が入っても成功なんでしょうか?
3.印の入っていない穴と入った穴は玉の入り易さは同じと考えていいでしょうか?入り口が狭くなってませんか?

投稿日時 - 2004-12-01 13:03:32

補足

不正確な説明でした。申し訳ありません。補足させて頂きます。

1.に関して
→パチンコのようにいくつでも入ります。

2.に関して
→5個の穴にはすべて入る必要があります。

3.に関して
→玉の入りやすさは、10箇所ともすべて同じです。

よろしくお願いいたします。

投稿日時 - 2004-12-02 01:18:39

ANo.1

考え方のヒントになりますが、
10個の穴のうち 印の穴が5個ついている
ということは、
2個の穴のうち 印の穴が1個 と同等に考えてよいのでは?

投稿日時 - 2004-12-01 13:03:26

お礼

アドバイスありがとうございます。
私も、穴の数とボールの数を減らして、いろいろ考えました。穴が4つ、ボールが4つ、くらいのあたりから、こんがらがってきました…

投稿日時 - 2004-12-02 12:45:31

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