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質問
質問者：pepestudy 大分大学　医学部過去問
困り度：
  • すぐに回答を！
 大分大学　医学部の過去問を解いてくるよう言われたんですが…
まったく手も足もでません…。

どなたか解ける方いませんか？

----------------------------------問題----------------------------------
　(1) 6(x-y)＝xyを満たす自然数の組x,yをすべて求めよ。


　(2) 7(x+y+z)＝2(xy+yz+zx)を満たす自然数の組x,y,z(x≦y≦z)を全て求めよ。

----------------------------------問題----------------------------------
質問投稿日時：08/01/07 20:44
質問番号：3658993
この質問に対する回答は締め切られました。
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回答

良回答20pt
回答者：kumipapa 皆さんが多くの回答を寄せられた後ですが、正月のせいか、いつもめちゃくちゃ鋭い皆さんが珍しく計算間違いをされているようなので。

（１）のような場合、私はお定まりで、整式×整式＝定数　の形にして、右辺定数の約数と整式の対比で考える事が多いです。#3さんの回答と同じなんですけど・・・
6(x-y)=xy　⇔ (x+6)(6-y) = 36
(6-y)は 6 > (6-y) > 0 である36の約数だから
6-y = 1,2,3,4
x+6 = 36,18,12,9　（同順）
故に
y = 5,4,3,2
x = 30,12,6,3　（同順）
求める組(x,y)は(30,5), (12,4), (6,3), (3,2)

（２）は、とにかくxの最小値なんかが分かれば助かるんで、トリッキーで嫌な感じですけど
7(x+y+z) = 2(xy+yz+zx)
⇔　x(7-2y)+y(7-2z)+z(7-2x) = 0
なんですが、7/2＜x (≦y≦z) では左辺＜０なので解なし。
故に x ≦ 7/2の自然数だから x=1,2,3
x=1のとき）
7(1+y+z) = 2(y+z+yz)　⇔　(2y-5)(2z-5)=39
z≧y なので (2z-5) ≧ (2y-5) だから
2y-5 = 1,3
2z-5 = 39,13　（同順）
∴
y=3,4
z=22,9　（同順）

x=2のとき）
7(2+y+z) = 2(2y+2z+yz)　⇔　(2y-3)(2z-3)=37
x=1のときと同様に
2y-3 = 1
2z-3 = 37
∴
y=2, z=20
x=3のとき）
7(3+y+z) = 2(3y+3z+yz)　⇔　(2y-1)(2z-1)=43
x=3≦y≦zを満たす自然数の解はない

よって、x,y,zの組は (1,3,22), (1,4,9), (2,2,20)
計算間違いはしてないと思いますけど・・・。
種類：アドバイス
どんな人：一般人
自信：参考意見
回答日時：08/01/08 16:24
回答番号：No.7
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回答

良回答10pt
回答者：take_5 （2）x≦y≦zより、x+y+z≦3z、xy+yz+zx≦3z＾2。
7(x+y+z)＝2(xy+yz+zx)より、7(x+y+z)≦21z、2(xy+yz+zx)≦6z＾2。
従って、満たすべきzの正数解が存在するためには、6z＾2≧21z、or、6z＾2≦21zでなければならない。
6z＾2≦21zの時は、z＝3、2、1。これ以降は、（1）の方法を繰り返すと良い。
それで（1）があるんだろう。出題者はヒントのつもりだろうが、ちょつとヒントには遠いかな？
6z＾2≧21zの時は、z＝4、5、6‥‥となるが、Ａno2さんが示している方法で、解なしである事が示される。

未だ、頭が痛い。もし、違ってたら御免なさい。
種類：回答
どんな人：一般人
自信：自信あり
回答日時：08/01/08 12:58
回答番号：No.6
この回答へのお礼この回答にお礼をつける(質問者のみ)

回答

 
回答者：take_5 2日酔いの頭で、とりあえず（1）だけ。

6(x-y)＝xyより、（x+6）y＝6x。x+6≧7より、y＝6x/（x+6）＝6-36/（x+6）。x+6は36の約数から、x+6≧7よりx+6＝9、12、18、36。

あとの計算は自分でやってね。

（2）はヒントの　x≦y≦zを使うんだろう。
種類：回答
どんな人：一般人
自信：自信あり
回答日時：08/01/08 10:47
回答番号：No.5
この回答へのお礼この回答にお礼をつける(質問者のみ)

回答

 
回答者：info22 #1です。
補足について
数学の分野により、
ゼロは自然数に含める場合、含めない場合も、両方あるようですが、
下記のURLによれば
​http://ja.wikipedia.org/wiki/0​
「高校までの数学ではゼロを自然数に含めない」
扱いをするようです。
従って、入試問題ではゼロを自然数に含めないのが
正解のようです。
種類：回答
どんな人：経験者
自信：自信あり
回答日時：08/01/07 22:19
回答番号：No.4
参考URL： ​http://ja.wikipedia.org/wiki/0​
この回答へのお礼わざわざ調べて頂き誠に申し訳ありません…
本当ありがとうございます。
(1)の答え出ました☆
わかりやすい解答ありがとうございます。

回答

 
回答者：Meowth 右辺-左辺=(x+6)(y-6)+36=0
(x+6)(6-y)=36
6-yは5以下で、36の約数 36=2^2×3^2から
6-y=1,2,3,4
y=2,3,4,5
x+6=36/(6-y)=36,18,12,9
x=30,12,6,3
(同順）
（30,2) (12,3) (6,4) (3,5)
種類：回答
どんな人：一般人
自信：参考意見
回答日時：08/01/07 22:08
回答番号：No.3
この回答へのお礼解答ありがとうございます!!
本当感謝の一言です!!!!

参考にさせて頂きます♪
本当にありがとうございます

回答

 
回答者：joggingman (1)
6x-6y=xy
y=6x/(x+6)=6 +(-36)/(x+6)
x=3,6,12,30のとき、右辺が自然数となる
(3,2),(6,3),(12,4),(30,5)

(2)
x=1のとき、
7+7y+7z=2(y+z+yz)
y(5-z)=-5z-7
y=(5z+7)/(z-5)=5 +32/(z-5)
右辺が自然数となり、ｙ≦ｚとなるのは、
(1,6,37),(1,7,21),(1,9,13)

x=2のとき、
14+7y+7z=2(2y+2z+yz)
y=(3/2) +(37/2)/(2z-3)
(2,2,20)

x=3のとき、
21+7y+7z=2(3y+3z+yz)
y=(1/2) +(43/2)/(2z-1)
z=22のとき、y=1となるので不適

x=4,5,・・・のとき、
7x=y(2x-7)+z(2x-7)+2yz
となり、左辺＜右辺なので、解なし

地道に数えればいいんじゃないでしょうか？
種類：アドバイス
どんな人：経験者
自信：参考意見
回答日時：08/01/07 22:07
回答番号：No.2
この回答へのお礼本当に詳しく書いて頂きありがとうございます。
感謝しても仕切れないぐらいです!!!!!

参考にさせて頂きます☆
本当ありがとうございました。

回答

 
回答者：info22 まず、自然数にゼロが含まれるか？
​http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0#.E8.87.AA....​
ゼロも自然数なので、

(1)式を変形→ 6x=(x+6)y…(A)
(x,y)=(0,0)が自明。

以降y≧1の場合を考えると
6x=(x+6)y≧(x+6)
5x≧x+6
4x≧6　→x≧3/2　→x≧2…(B)
(A)でy≧6とすると(A),(B)を満たすxが存在しない。
従って、1≦y≦5
これでyの範囲が限定されるので
y=1 →6x=(x+6)　→x自然数でないので不適
y=2以降を調べると
(x,y)=(3,2),(6,3),(12,4),(30,5)
が出てきます。

(2)はまた後で

とにかく、やらず仕舞いでは解決しません。
他人任せにしないで、問題に食いついてください。
全て求めるられるわけですから、有限個の解の組しか存在しないはずです。
そうすれば、解答の道筋が見えてくるかと思います。
種類：回答
どんな人：経験者
自信：自信あり
回答日時：08/01/07 21:44
回答番号：No.1
この回答への補足えっと…すいません(汗
ゼロって自然数でしたっけ？？…。
私の勘違いなら申し訳ありません…
この回答へのお礼すいませんありがとうございます。

私も参考書両手に頑張ってますよ☆
で…1番の答え一応出たんですけど…。
違ってるみたぃです(汗
info22さんの解答を参考にもう１度解いてみます!!!
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